Chứng minh tam giác AMN cân biết DM vuông góc với BC, EN vuông góc với BC

Bài này đề sai đó bạn, ý cuối phải là Chứng minh AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{MAN}\) . Nhìn kỹ sẽ thấy ngay.

(Hình chỉ mang tính minh họa)

a) Ta có: AD = AB + BD

AE = AC + CE

mà AB = AC, BD = CE (gt)

\(\Rightarrow\) AD = AE

\(\Rightarrow\Delta\) ADE cân tại A

Xét \(\Delta\) ADE, có: \(\widehat{DAE}\) + \(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) = 180^o - \(\widehat{DAE}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{AED}\) = \(\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\) (1)

Xét \(\Delta\) ABC, có: \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180^o - \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) = \(\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{ABC}\)

mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị \(\Rightarrow\) BC//DE

b) Có: \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{MBD}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\widehat{ACB}\) = \(\widehat{NCE}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MBD}\) = \(\widehat{NCE}\)

Xét \(\Delta\) MBD vuông tại M và \(\Delta\) NCE vuông tại N, có:

BD = CE (gt)

\(\widehat{MBD}\) = \(\widehat{NCE}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MBD = \(\Delta\) NCE (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\) DM = EN (2 cạnh tương ứng)

MBD = NCE (cmt) \(\Rightarrow\widehat{D_1}\) = \(\widehat{E_1}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta\) AMD và \(\Delta\) ANE, có:

MD = NE (cmt)

\(\widehat{D_1}\) = \(\widehat{E_1}\) (cmt)

AD = AE (cmt)

\(\Rightarrow\Delta\) AMD = \(\Delta\) ANE (c.g.c)

\(\Rightarrow\) AM = AN (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta\) AMN cân tại A

c) Gọi IH \(\perp\) AM và IK \(\perp\) AN

\(\Delta\) AMN cân tại A (cmt) \(\Rightarrow\) \(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{A_2}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta\) AHB vuông tại H và \(\Delta\) AKC vuông tại K, có:

\(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{A_2}\) (cmt)

AB = AC (cmt)

\(\Rightarrow\Delta\) AHB = \(\Delta\) AKC (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\) AH = AK (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\) AHI vuông tại H và \(\Delta\) AKI vuông tại K, có:

AH = AK (cmt)

AI là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta\) AHI = \(\Delta\) AKI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{HAI}\) = \(\widehat{KAI}\) (2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)

Lại có: \(\widehat{MAI}\) = \(\widehat{MAB}\) + \(\widehat{BAI}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{NAI}\) = \(\widehat{NAC}\) + \(\widehat{CAI}\)

mà \(\widehat{MAI}\) = \(\widehat{NAI}\) (cmt) ; \(\widehat{MAB}\) = \(\widehat{NAC}\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}\) = \(\widehat{CAI}\)

\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác của \(\widehat{BAI}\)

_Yorin_