Chứng minh tam giác AMB đều biết tam giác ABC vuông tại A có C = 30 độ

Tự vẽ hình.

a) Vì BM = BA => \(\Delta\)AMB cân tại B (1)

Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:

\(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180^o

=> 90^o + \(\widehat{ABC}\) + 30^o = 180^o

=> \(\widehat{ABC}\) = 60^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta\)AMB đều.

b) Kẻ MD là tia đối của tia MA sao cho MD = MA.

Vì \(\Delta\)AMB đều nên \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{BMA}\) = 60^o (câu a)

Ta có: \(\widehat{BAM}\) + \(\widehat{MAC}\) = 90^o (t/c tgv)

=> 60^o + \(\widehat{MAC}\) = 90^o

=> \(\widehat{MAC}\) = 30^o

mà \(\widehat{BCA}\) = 30^o hay \(\widehat{MCA}\) = 30^o => \(\widehat{MAC}\) = \(\widehat{MCA}\)

=> \(\Delta\)MAC cân tại M

=> MA = MC mà MA = MB (\(\Delta\)AMB đều)

=> MB = MC.

Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)DCM có:

BM = CM (c/m trên)

\(\widehat{AMB}\) = \(\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

AM = DM (đã cho trên)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)DCM (c.g.c)

=> AB = DC (2 cạnh t/ư) và \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{DCM}\) (2 góc t/ư)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB //CD.

=> \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{DCA}\) = 180^o (trong cùng phía)

=> 90^o + \(\widehat{DCA}\) = 180^o

=> \(\widehat{DCA}\) = 90^o

=> \(\Delta\)ACD vuông tại C

Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A và \(\Delta\)CDA vuông tại C có:

AB = CD (c/m trên)

AC chungg

=> \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)CDA (cgv - cgv)

=> BC = DA (2 cạnh t/ư)

Lại có: AM = \(\frac{DA}{2}\) (M là tđ do MA = MD)

=> \(AM=\frac{BC}{2}\) \(\rightarrow\) đpcm.