Chứng minh tam giác AHK cân biết IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC

Câu 3 :

Xét \(\Delta AIB,\Delta AIC\) có :

\(BI=CI\) (I là trung điểm của BC)

\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (tính chất đường trung trực)

\(AI:Chung\)

=> \(\Delta AIB=\Delta AIC\left(c.g.c\right)\)

Xét \(\Delta HBI,\Delta KCI\) có :

\(\widehat{HBI}=\widehat{KCI}\) (do \(\Delta AIB=\Delta AIC\))

\(BI=CI\) (I là trung điểm của BC)

\(\widehat{BHI}=\widehat{CKI}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta HBI=\Delta KCI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> IH = IK (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta IHK\) cân tại I

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BHI}+\widehat{IHK}+\widehat{AHK}=180^o\\\widehat{CKI}+\widehat{IKH}+\widehat{AKH}=180^o\end{matrix}\right.\left(Kềbù\right)\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BHI}=\widehat{CKI}\left(=90^o\right)\\\widehat{IHK}=\widehat{IKH}\left(\text{Tam giác IHK cân tại I}\right)\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(180^o-\left(\widehat{BHI}+\widehat{IHK}\right)=180^o-\left(\widehat{CKI}+\widehat{IKH}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)

=> \(\Delta AHK\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(\text{HK // BC }\)

=> đpcm.