Chứng minh tam giác ACD cân biết tam giác ABC cân tại A và HA=HD

a. \(AH\perp BC\Rightarrow\) AH là đường cao

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến => BH = CH

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DCH\) có:

BH = CD (cmt)

HA = DH (gt)

\(\widehat{AHB}=\widehat{DHC}\)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta DCH\left(c.g.c\right)\left(1\right)\Rightarrow AB=DC\)

Mà AB = AC ( \(\Delta ABC\) cân )

\(\Rightarrow DC=AC\Rightarrow\Delta ACD\) cân

b. Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{DCH}\)

Mà \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) ( \(\Delta ABC\) cân)

\(\Rightarrow\widehat{DCH}=\widehat{ACH}\)

Có \(\widehat{ECD}+\widehat{DCH}=180^o\) ( 2 góc kề bù )

\(\widehat{ECA}+\widehat{ACH}=180^o\) ( 2 góc kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{ECD}=\widehat{ECA}\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta DCE\) có:

CE chung

AC = DC ( theo phần a)

\(\widehat{ECA}=\widehat{ECD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ACE=\Delta DCE\left(c.g.c\right)\)

c. Xét \(\Delta ADE\) có AH = HD => EH là đường trung tuyến ( 2 )

Có \(BC=CE=\dfrac{BE}{2}\)

\(BH=CH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{CE}{2}\)

\(\Rightarrow CE+CH=CE+\dfrac{CE}{2}\)

\(\Rightarrow EH=\dfrac{3CE}{2}\) hay \(CE=\dfrac{2}{3}EH\left(3\right)\)

Từ ( 2 ) và (3) => C là trọng tâm \(\Delta ADE\)

=> AC là đường trung tuyến ứng với cạnh DE hay AK là đường trung tuyến ứng với cạnh DE

\(\Rightarrow DK=KE=\dfrac{DE}{2}\Rightarrow2DK=DE\)

Xét tam giác CED có CE + CD > DE = 2DK (BĐT tam giác)

Mà CE = BC ; CD = AC = AB

\(\Rightarrow AB+BC>2DK\)