Chứng minh tam giác ABM=tam giác ACM biết tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC

Ta có hình vẽ sau:

a/ Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

AM: chung

AB = AC (gt)

BM = CM (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\left(đcpm\right)\)

b/ Vì \(\Delta ABM=\Delta ACM\) \(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (g t/ứng)

Xét 2 \(\Delta vuông\) \(\Delta APM\) và \(\Delta AQM\) có:

AM: chung

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta APM=\Delta AQM\left(ch-gn\right)\)

=> AP = AQ (c t/ứng) (đpcm)

c/ Xét 2 \(\Delta vuông\) \(\Delta MKP\) và \(\Delta MHQ\) có:

MP = MQ (c t/ứng do \(\Delta APM=\Delta AQM\) )

\(\widehat{PMK}=\widehat{QMH}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta MKP=\Delta MHQ\left(cgv-gnk\right)\)

=> MK = MH (c t/ứng)(đpcm)

d/ Ta có: AP + KP = AK

AQ + HQ =AH

mà AP = AQ (đã cm) ; KP = HQ (\(\Delta MKP=\Delta MHQ\))

=> AK = AH => \(\Delta AKH\) cân tại A

mà \(\Delta APQ\) cũng cân tại A(AP = AQ)

=> \(\widehat{APQ}=\widehat{AKH}=\widehat{AQP}=\widehat{AHK}\)

Có: \(\widehat{APQ}=\widehat{AKH}\left(cmt\right)\) mà 2 góc này đồng vị => PQ // KH (đpcm)

e/ Vì \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(đãcm\right)\)

=> AM là tia p/g của góc A (1)

Xét \(\Delta AKO\) và \(\Delta AHO\) có:

AO: chung

AK = AH (đã cm)

KO = HO (gt)

=> \(\Delta AKO=\Delta AHO\left(c-c-c\right)\)

=> \(\widehat{KAO}=\widehat{HAO}\) (g t/ứng)

=> AO là tia p/g của góc A (2)

Từ (1) và (2)

=> AM trùng AO

=> O, A, M thẳng hàng (đpcm)