Chứng minh tam giác ABC cân biết BE vuông AC và CF vuông AB

Xét \(\Delta BFC\perp E\) và \(\Delta CEB\perp E\) có :

BC : cạnh chung

FC = BE (gt)

\(\Rightarrow\Delta BFC=\Delta CEB\left(c.h-c.g.v\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

Xét \(\Delta AFC\perp F\) và \(\Delta AEB\perp E\) có :

BA = AC (Vì \(\Delta ABC\) cân tại A)

FC = BE (gt)

\(\Rightarrow\Delta AFC=\Delta AEB\left(c.h-c.g.v\right)\)

\(\Rightarrow\) AF = AE

\(\Rightarrow\Delta AFE\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\) EF // BC (đồng vị)

Xét \(\Delta AFO\perp F\) và \(\Delta AEO\perp E\) có :

FA = AE (Vì \(\Delta AFE\) cân tại A)

AO : cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta AFO=\Delta AEO\left(c.h-c.g.v\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FAO}=\widehat{EAO}\)

Gọi I là giao điểm của AO và BC

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có :

BA = AC (Vì \(\Delta ABC\) cân tại A)

AI : cạnh chung

\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (cmt) \(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\) (c . g . c) \(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) , BI = IC (1) Mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\) \(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{1}{2}\times180^0=90^0\)

\(\Rightarrow AI\perp BC\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\) AO là trung trực của BC