Chứng minh tam giác ABC cân biết BE vuông AB, BE=CF=8 cm

a) Vì \(\Delta ABE\) có: \(\widehat{AEB}=90^0\) nên \(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B_1}=90^0\left(1\right)\)

Vì \(\Delta ACF\) có: \(\widehat{AFC}=90^0\) nên \(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{C_1}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEB}=\widehat{ÀFC}=\left(90^0\right)\\FC=BE=8cm\\\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACF\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow AB=AC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

b) Gọi độ dài các cạnh BF, FC và BC lần lượt là a, b, c ( đơn vị; cm, a, b, c >0)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào △BFC vuông tại F có:

\(a^2+b^2=c^2\Rightarrow c^2-a^2=b^2=8^2=64\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}\Rightarrow\dfrac{a^2}{9}=\dfrac{c^2}{25}=\dfrac{c^2-a^2}{25-9}=\dfrac{64}{14}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{c^2}{25}=4\Rightarrow c^2=100\Rightarrow c=10\)

Vậy BC = 10cm

c) ZGọi giao điểm của AO và FE là I

Từ \(\Delta ABE=\Delta ACF\Rightarrow AE=AF\)

Xét \(\Delta AFO\) và \(\Delta AEO\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AF=AE\left(cmt\right)\\AOchung\\\widehat{AFO}=\widehat{AEO}\left(=90^0\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AFO=\Delta AEO\) ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta AFO\) và \(\Delta AEO\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AF=AE\left(cmt\right)\\AIchung\\\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AFi=\Delta AEI\left(c-g-c\right)\) ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\\FI=IE\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=180^0\Rightarrow2\cdot\widehat{I_1}=180^0\Rightarrow\widehat{I_1}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ⇒ AO là đường trung trực của EF