Chứng minh OB=OC, AO vuông góc BC biết tam giác ABC cân tại A, BD vuông góc AC

Ta có hình vẽ sau:

a/ Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (gt)

=> AB = AC ; \(\widehat{ABC}=\widehat{ ACB}\)

Xét 2 \(\Delta\) vuông: \(\Delta BEC\) và \(\Delta CDB\) có:

BC:cạnh chung

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (cmt)

=> \(\Delta BEC=\Delta CDB\left(ch-gn\right)\)

=> BE = CD (cạnh t/ứng)(đpcm)

b/ Ta có:

AE + BE = AB

AD + CD = AC

mà BE = CD (ý a) ; AB = AC (đã cm)

=> AE = AD

Xét 2 \(\Delta\) vuông: \(\Delta AEI\) và \(\Delta ADI\) có:

AI: cạnh chung

AE = AD(cmt)

\(\Rightarrow\Delta AEI=\Delta ADI\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (góc t/ứng)

=> AI là tia p/g của góc BAC (đpcm)

c/ Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta AOC\) có:

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (đã cm)

AB = AC (đã cm)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (đã cm)

=> \(\Delta AOB=\Delta AOC\left(g-c-g\right)\)

=> OB = OC (cạnh t/ứng)(đpcm)

và \(\widehat{AOB}=\widehat{AOC}\) (góc t/ứng)

mà \(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=90^o\)

\(\Rightarrow AO\perp BC\left(đpcm\right)\)