Chứng minh MI là tia phân giác của góc NMP biết tam giác MNP cân tại M

a) Ta có : \(\Delta MNI=\Delta MPI\left(c.c.c\right)\) do :

\(\left\{{}\begin{matrix}MN=MP\left(\text{Tam giác MNP cân tại M}\right)\\MI:Chung\\NI=PI\left(\text{I là trung điểm của NP}\right)\end{matrix}\right.\)

b) Từ : \(\Delta MNI=\Delta MPI\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{NMI}=\widehat{PMI}\) (2 góc tương ứng)

=> MI là tia phân giác của \(\widehat{NMP}\)

c) Từ \(\Delta MNI=\Delta MPI\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{MIN}=\widehat{MIP}\) (2 góc tương ứng)

Mà : \(\widehat{MIN}+\widehat{MIP}=180^o\left(kềbù\right)\)

=> \(\widehat{MIN}=\widehat{MIP}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

=> \(MI\perp NP\rightarrowđpcm\)

d) Xét \(\Delta HNI,\Delta KPI\) có :

\(\widehat{HNI}=\widehat{KPI}\) (\(\Delta MNP\) cân tại M)

\(IN=IP\) (I là trung điểm của NP)

\(\widehat{NHI}=\widehat{PKI}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta HNI=\Delta KPI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> IK = IH (2 cạnh tương ứng)

g) Từ \(\Delta HNI=\Delta KPI\left(cmt\right)\)

=> \(HN=KP\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}MN=MP\left(\text{Tam giác MNP cân tại M }\right)\\HN=KP\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}MN=MH+HN\\MP=MK+KP\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(MN-HN=MP-KP\)

\(\Leftrightarrow MH=MK\)

=> \(\Delta MHK\) cân tại M

Ta có : \(\widehat{MHK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{M}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta MNP\) cân tại M có :

\(\widehat{MNP}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{M}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{MHK}=\widehat{MNP}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{M}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị.

=> HK // PN

=> đpcm.