Chứng minh KM//BC biết HK vuông góc AC tại K và HM vuông góc AB tại M

a) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACH\) có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^{^O}\right)\)

AB = AC (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (ΔABC cân tại A)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Hình vẽ

c) Xét \(\Delta KBH,\Delta MCH\) có:

\(\widehat{KBH}=\widehat{MCH}\) (ΔABC cân tại A)

\(BH=CH\) (chứng minh câu a)

\(\widehat{BKH}=\widehat{CMH}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta KBH=\Delta MCH\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(BK=MC\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{​Tam giác ABC cân tại A}\right)\\BK=MC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}K\in AB\\M\in AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AK+BK\\AC=AM+MC\end{matrix}\right.\)

nên có : \(AB-BK=AC-MC\)

\(\Leftrightarrow AK=AM\)

=> ΔAKM cân tại A

Ta có : \(\widehat{AKM}=\widehat{AMK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AKM}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy: 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó: \(KM//BC\left(đpcm\right)\)