Chứng minh KH//BC biết tam giác ABC cân tại A có BH vuông AC và AK=AH

a) Xét \(\Delta AHK\) có :

\(AK=AH\left(gt\right)\)

=> \(\Delta AHK\) cân tại A

Xét \(\Delta ABC;\Delta AHK\) cân tại A có :

\(\widehat{AKH}=\widehat{ABC}\)

Mà : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=>\(\text{ KH// BC}\left(đpcm\right)\)

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\AK=AH\end{matrix}\right.\) (gt)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AK+KB\\AC=AH+HC\end{matrix}\right.\)

=> \(BK=HC\)

Xét \(\Delta KBC;\Delta HBC\) có :

\(BK=HC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{KBC}=\widehat{HCB}\) ( tính chất tam giác cân)

\(BC:chung\)

=> \(\Delta KBC=\Delta HBC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BKC}=\widehat{CHB}\) (2 góc tương ứng)

Mà : \(\widehat{BKC}=90^o\Rightarrow\widehat{CHB=90^o}\)

Hay : \(CK\perp AB\left(đpcm\right)\)

c) Từ \(\Delta KBC=\Delta HBC\left(cmt\right)\) - câu b ta có :

\(\widehat{KCB}=\widehat{HBC}\) ( 2 góc tương ứng)

=> \(\Delta OBC\) cân tại O (có 2 góc kề cạnh đáy bằng nhau)

=> \(OB=OC\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(\Delta AOB;\Delta AOC\) có :

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(AO:Chung\)

\(OB=OC\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta AOB;=\Delta AOC\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\) (2 góc tương ứng)

=> OA là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Mà theo giả thiết : \(\Delta ABC\) cân tại A

=> OA đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta ABC\)

Hay : OA là trung trực của BC (đpcm)