Chứng minh IH=IK biết tam giác ABC có CA=CB=10cm, AB=12cm

a)

Xét \(\Delta ACI\) và \(\Delta BCI\), có:

\(\widehat{AIC}=\widehat{BIC}=90^0\)

\(CA=CB\) (Tam giác ABC cân tại C)

\(\widehat{CAB}=\widehat{CBA}\) (Tam giác ABC cân tại C)

\(\Rightarrow\Delta ACI=\Delta BCI\) (cạnh huyền_góc nhọn)

\(\Rightarrow IA=IB\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Leftrightarrow\) I là trung điểm của AB

\(\Leftrightarrow IA=IB=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABI, có:

\(AC^2=IA^2+CI^2\)

Hay \(10^2=6^2+CI^2\)

\(\Rightarrow CI^2=10^2-6^2=64\)

\(\Rightarrow CI=\sqrt{64}=8\)

b)

Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta BKI\), có:

\(\widehat{AHI}=\widehat{BKI}=90^0\)

\(IA=IB\) (I là trung điểm của AB)

\(\widehat{CAB}=\widehat{CBA}\) (Tam giác ABC cân tại C)

\(\Rightarrow\Delta AHI=\Delta BKI\) (cạnh huyền_góc nhọn)

\(\Rightarrow IH=IK\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrowđpcm\)

c)

Xét \(\Delta CHI\) và \(\Delta CKI\), có:

\(\widehat{CHI}=\widehat{CKI}=90^0\)

CI là cạnh chung

\(\widehat{HCI}=\widehat{KCI}\) (\(\Delta ACI=\Delta BCI\))

\(\Rightarrow\Delta CHI=\Delta BKI\) (cạnh huyền_góc nhọn)

\(\Rightarrow CH=CK\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta CHK\) cân tại A (Kẻ HK)

\(\Rightarrow CHK=\dfrac{180^0-\widehat{ACB}}{2}\) (1)

Lại có: \(\Delta ABC\) cân tại C

\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\dfrac{180^0-\widehat{ACB}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{CHK}=\widehat{CAB}\)

\(\Leftrightarrow\) HK song song với AB (Vì có hai góc đồng vị bằng nhau)

Học tốt!