Chứng minh ID=IE biết tam giác ABC có góc A=60 độ, tia phân giác của B, C cắt tại I

Kẻ IH là tia phân giác \(\widehat{BIC}\).

Ta có:

\(\widehat{CBD}=\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\) (BD là phân giác góc B)

\(\widehat{ACE}=\widehat{BCE}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\) (CE là phân giác góc C)

mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\) (áp dụng định lý tổng ba góc của tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^o\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\widehat{CBD}+\widehat{BCE}=\dfrac{120^o}{2}=60^o\)

Ta có:

\(\widehat{BIC}=180^o-\left(\widehat{CBD}+\widehat{BCE}\right)=180^o-120^o=60^o\)

Ta lại có:

\(\widehat{BIH}=\widehat{CIH}=\dfrac{\widehat{BIC}}{2}=\dfrac{120^o}{2}=60^o\)(IH là tia phân giác của \(\widehat{BIC}\))

\(\widehat{BIE}=180^o-\widehat{BIC}=180^o-120^o=60^o\) (kề bù)

và \(\widehat{CID}=\widehat{BIE}=60^o\left(đđ\right)\)

Xét tam giác BIE và tam giác BIH ta có:

\(\widehat{BIE}=\widehat{BIH}\left(=60^o\right)\); BI: cạnh chung; \(\widehat{EBI}=\widehat{HBI}\) (BD phân giác \(\widehat{ABC}\))

Do đó tam giác BIE= tam giác BIH(c.g.c)

=> IE=IH (cặp cạnh tương ứng)(1)

Xét tam giác DCI và tam giác HCI ta có:

\(\widehat{CID}=\widehat{CIH}\left(=60^o\right)\) ; CI:cạnh chung; \(\widehat{DCI}=\widehat{HCI}\) (do CE là phân giác \(\widehat{ACB}\))

Do đó tam giác DCI=tam giác HCI(c.g.c)

=> DI=HI (cặp cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(IE=ID\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!