Chứng minh HK song song với DE biết tam giác ABC cân tại A, D thuộc tia đối của BA

a) Ý 1: Ta có: \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{HBD}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{ACB}\) = \(\widehat{KCE}\) (đối đỉnh)

mà \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) (\(\Delta\)ABC cân tại A)

=> \(\widehat{HBD}\) = \(\widehat{KCE}\)

Xét \(\Delta\)BDH vuông tại H và \(\Delta\)CEK vuông tại K có:

BD = CE (gt)

\(\widehat{HBD}\) = \(\widehat{KCE}\) (c/m trên)

=> \(\Delta\)BDH = \(\Delta\)CEK (ch - gn)

=> BH = CK (2 cạnh t/ư)

Ý 2: Vì \(\Delta\)BDH = \(\Delta\)CEK

=> BH = CK (2 cạnh t/ư)

Lại có: \(\widehat{ABH}\) + \(\widehat{ABC}\) = 180^o (kề bù)

\(\widehat{ACK}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180^o (kề bù)

mà \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) => \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{ACK}\)

Xét \(\Delta\)ABH và \(\Delta\)ACK có;

AB = AC (\(\Delta\)ABC cân tại A)

\(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{ACK}\) (c/m trên)

BH = CK (c/m trên)

=> \(\Delta\)ABH = \(\Delta\)ACK (c.g.c)

=> \(\widehat{AHB}\) = \(\widehat{AKC}\) (2 góc t/ư)

hay \(\widehat{AHK}\) = \(\widehat{AKC}\).

b) Ta có: AB + BD = AD

AC + CE = AE

mà AB = AC; BD = CE => AD = AE

=> \(\Delta\)ADE cân tại A

=> \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{AED}\)

Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:

\(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) + \(\widehat{DAE}\) = 180^o

=> 2\(\widehat{ADE}\) = 180^o - \(\widehat{DAE}\)

=> \(\widehat{ADE}\) = \(\frac{180^O-\widehat{DAE}}{2}\) (1)

Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:

\(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{DAE}\) = 180^o

=> 2\(\widehat{ABC}\) = 180^o - \(\widehat{DAE}\)

=> \(\widehat{ABC}\) = \(\frac{180^O-\widehat{DAE}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{ABC}\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên HK // DE

c) Vì \(\Delta\)ABH = \(\Delta\)ACK (câu a)

=> AH = AK (2 cạnh t/ư) và \(\widehat{HAB}\) = \(\widehat{KAC}\)

Lại có: \(\widehat{HAB}\) + \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{HAE}\)

\(\widehat{KAC}\) + \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{KAD}\)

mà \(\widehat{HAB}\) = \(\widehat{KAC}\)