Chứng minh góc AKC vuông biết tia phân giác của góc BAN và BCM cắt nhau tại K

+) ta có AK là phân giác của \(\widehat{NAB}\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{NAK}=\dfrac{1}{2}\widehat{NAB}\)

CK là phân giác của góc \(\widehat{MCB}\Rightarrow\widehat{MCK}=\widehat{BCK}=\dfrac{1}{2}\widehat{MCB}\)

+) Ta có \(\widehat{NAB}+\widehat{B}=90^O\) ( \(\Delta NAB\) vông tại N )

\(\widehat{MCB}+\widehat{B}=90^O\) (\(\Delta MAB\) vuông tại M)

=> \(\widehat{NAB}+\widehat{B}=\widehat{MCB}+\widehat{B}=90^O\) \(\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{MCB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\widehat{NAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{MCB}\) \(\Rightarrow\widehat{NAK}=\widehat{BAK}=\widehat{MCK}=\widehat{BCK}\)

+) Ta gọi AN \(\cap CK=\left\{I\right\}\)

Xét \(\Delta KAI\) có \(\widehat{KAI}+\widehat{KIA}+\widehat{IKA}=180^0\) ( Tổng 3 góc trong tam giác )

Xét \(\Delta CIN:\widehat{CIN}+\widehat{INC}+\widehat{NCI}=180^O\) (Tổng 3 góc trong tam giác )

\(\Rightarrow\widehat{KAI}+\widehat{KIA}+\widehat{IKA}=\widehat{CIN}+\widehat{NCI}+\widehat{INC}\)

mà \(\widehat{KAI}=\widehat{NCI}\) và \(\widehat{KIA}=\widehat{NIC}\) ( Đối đỉnh )

=> \(\widehat{AKI}=\widehat{INC}\) mà \(\widehat{INC}=90^O\Rightarrow\widehat{AKI}=90^O\) hay \(\widehat{AKI}=90^0\)