Chứng minh F, E, D thẳng hàng biết tam giác ABC vuông tại A có BE là tia phân giác

(Tự vẽ hình)

a) Chứng minh tam giác ABD cân?

Xét tam giác ABD có:

BA=BD(gt)

=> Tam giác ABD cân tại B

b) Chứng minh BE vuông góc AD?

Gọi giao điểm của BE và AD là I

Xét tam giác BAI và tam giác BDI có:

\(BA=BD\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABI}=\widehat{DBI}\) (BI là tia phân giác)

BI: Cạnh chung

Do đó: \(\Delta BAI=\Delta BDI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{DIB}\) (2 góc tương ứng)

Ta có:

\(\widehat{AIB}+\widehat{DIB}=180^o\) (2 góc kề bù)

\(hay:\widehat{AIB}+\widehat{AIB}=180^0\\ 2\widehat{AIB}=180^0\\ \widehat{AIB}=90^0\)

\(\Rightarrow BE\perp AD\) tại I

c) Chứng minh tam giác BAE = tam giác BDE và EA = ED?

Xét tam giác BAE và tam giác BDE có:

BE: Cạnh chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\) (BE là tia phân giác)

BA=BD (gt)

Do đó: Tam giác BAE=Tam giác BDE (c.g.c)

\(\Rightarrow\) EA=ED

d) Chứng minh EF=EC?

Vì tam giác BAE=Tam giác BDE (theo câu c) nên ta có:

\(\widehat{EAF}=\widehat{EDC}\) ( 2 góc tương ứng)

Xét tam giác EAF và tam giác EDC có:

\(\widehat{EAF}=\widehat{EDC}\) (c/m trên)

\(EA=ED\) (theo câu c)

FA=CD (gt)

Do đó: Tam giác EAF = tam giác EDC (c.g.c)

\(\Rightarrow EF=EC\) (2 cạnh tương ứng)

e) Chứng minh F,E,D thẳng hàng?

Ta có:

BA+AF=BF (A nằm giữa A và F)

BD+DC=BC(D nằm giữa B và C)

Mà: BA=BD (gt)

AF=DC(gt)

Nên: BF=BC

\(\Rightarrow\Delta BFC\) cân

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{BCF}\) (t/c)

Lại có:

\(\widehat{BFD}+\widehat{DFC}=\widehat{BFC}\) (FD nằm giữa FB và FC)

\(\widehat{BCA}+\widehat{ACF}=\widehat{BCF}\) (CA nằm giữa CB và CF)

Mà: \(\widehat{BFD}=\widehat{BCA}\left(\Delta EAF=\Delta EDC\right)\) (1)

\(\widehat{BFC}=\widehat{BCF}\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\widehat{DFC}=\widehat{ACF}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\widehat{BFD}=\widehat{DFC}\)

\(\Rightarrow\) FD là tia phân giác của góc BFC

Lại có:

\(BE\cap FD=\left\{E\right\}\)

\(\Rightarrow\) E là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác BFC

\(\Rightarrow\) F,E,D thẳng hàng (đpcm)