Chứng minh EK//BC và BC=2EK biết E là trung điểm AB, K là trung điểm AC

Chứng minh

Trên tia đối của tia KE lấy F sao cho K là trung điểm của EF

Xét ΔAKE và ΔCKF có:

AK=CK(K là trung điểm của AC)

\(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\) (2 góc đối đỉnh)

EK = FK (K là trung điểm của EF)

⇒ ΔAKE = ΔCKF (c.g.c)

⇒ AE = CF (2 cạnh tương ứng)

mà AE = EB (E là trung điểm của AB)

⇒ CF = EB (=AE)

Ta lại có: ΔAKE = ΔCKF (CMT)

⇒ \(\widehat{A}=\widehat{C_1}\) (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ AE // CF (dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)

hay EB // CF (E∈AB)

⇒ \(\widehat{E_1}=\widehat{ECF}\) (2 góc so le trong)

Xét ΔEBC và ΔCFE có:

EB = CF (CMT)

\(\widehat{E_1}=\widehat{ECF}\left(CMT\right)\)

EC là cạnh chung

⇒ΔEBC = ΔCFE (c.g.c)

⇒ \(\widehat{C_2}=\widehat{E_2}\) (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ EF // BC (dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)

hay EK // BC (K ∈EF)
Lại có: ΔEBC = ΔCFE (CMT)

⇒ BC = FE (2 cạnh tương ứng)

mà \(EK=\dfrac{1}{2}EF\) (K là trung điểm của EF)

⇒ \(EK=\dfrac{1}{2}BC\)

⇒ BC = 2EK