Chứng minh EF//BC biết tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) có :

AM là trung tuyến trong \(\Delta ABC\) (BM = MC)

=>AM đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta ABC\)

Do đó : \(AM\perp BC\) (tính chất đường trung trực)

b) Xét \(\Delta EBM;\Delta FCM\) có:

\(\widehat{BEM}=\widehat{CFM}\left(=90^o\right)\)

\(BM=MC\left(gt\right)\)

\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\) (Tam giác ABC cân tại A)

=> \(\Delta EBM=\Delta FCM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> ME = MF (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\Delta ABCcân\right)\\BE=CF\left(\Delta BEM=\Delta CFM\right)\end{matrix}\right.\)

Mà có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AE+EB\\AC=AF+FC\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(AE=AF\)

Xét \(\Delta AEF\) có :

AE = AF (cmt)

=> \(\Delta AEF\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // BC (đpcm)