Chứng minh EF//BC biết tam giác ABC cân tại A có AH vuông BC

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHC , có :

AH : chung

AB = AC ( gt )

góc B = góc C ( gt )

=> tam giác AHB = tam giác AHC ( c-g-c )

=> HB = HC ( hai cạnh tương ứng )

Vậy HB = HC

b) Xét tam giác HEB và tam giác HFC , có :

HB = HC ( chứng minh trên )

góc B = góc C ( gt )

góc HEB = góc HFC ( = 90^o )

=> tam giác HEB = tam giác HFC ( ch - gn )

=> HE = HF ( hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác AHE và tam giác AHF , có :

AH : chung

HE = HF ( chứng minh trên )

góc AEH = góc AHF ( = 90^o )

=> tam giác AHE = tam giác AHF ( ch - cgv )

=> AE = AF ( hai cạnh tương ứng )

Vậy AE = AF

c) Vì AE = AF ( chứng minh trên ) => tam giác AEF cân tại A

Xét tam giác AEF cân tại A =>góc AEF = góc AFE ( tính chất tam giác cân)

=> góc A + góc AEF + góc AFE = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác )

=> góc AEF = góc AFE = \(\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) ( 1 )

Xét tam giác ABC cân tại A => góc B = góc C ( tính chất tam giác cân )

=> góc A + góc B + góc C = 180^o (định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác)

=> góc B = góc C = \(\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => góc AEF = góc B mà hai góc ở vị trí đồng vị nên EF // BC ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )

Vậy EF // BC ( đpcm )