Chứng minh EC=AM biết tam giác ABC vuông tại A và ED cắt BA tại M

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), ta có:

AB=EB (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) ( vì BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

BD chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\) (c-g-c)

b) Vì \(\Delta ABD=\Delta EBD\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\) ( 2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow AD=DE\) ( 2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{MAD}=180^0\)

\(90^0+\widehat{MAD}=180^0\)

\(\widehat{MAD}=90^0\)

Ta lại có: \(\widehat{BED}+\widehat{CED}=180^0\)

\(90^0+\widehat{CED}=180^0\)

\(\widehat{CED}=90^0\)

Xét \(\Delta MAD\) và \(\Delta CED\), ta có:

\(\widehat{CED}=\widehat{MAD}\) (cmt)

AD=DE ( cmt)

\(\widehat{ADM}=\widehat{EDC}\) ( đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta MAD=\Delta CED\) (g-c-g)

\(\Rightarrow EC=AM\) ( 2 cạnh tương ứng)

c) Vì \(\Delta MAD=\Delta CED\)

\(\Rightarrow DC=DM\) ( 2 cạnh tướng ứng)

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{ECD}\) ( 2 góc tương ứng)

Ta có: MD+ DE=ME

DC+DA=AC

mà DC=DM, DE=DA nên ME=AC

Xét \(\Delta MAE\) và \(\Delta CEA\), ta có:

AM=EC (câu b)

\(\widehat{AMD}=\widehat{ECD}\) (cmt)

ME=AC (cmt)

\(\Rightarrow\Delta MAE=\Delta CEA\) ( c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{EAM}\) (2 góc tương ứng)