Chứng minh DC > DB biết tam giác ABC có góc A=60 độ, AB < AC và đường cao AH

a) Vì AB < AC => ^ACB < ^ ABC ( quan hệ giuữa góc và cạnh đối diện )

Xét \(\Delta\) ABH vuông tại H => ^ BAH + ^ABH = 90^o

=> ^ABH = 90 ^o - 60^o = 30^o

b) Ta có : ^A1 = ^A2 = 60^o : 2 = 30^o

Xét \(\Delta\)ABI vuông tại I ta có : ^A1 + ^ABI = 90^o

=> ^ABI = 90^o - 30^o = 60^o

Xét 2 \(\Delta\) vuông AIB và BHA có :

AB : cạnh chung

^ABI = ^BAH ( = 60^o)

=> \(\Delta\)AIB = \(\Delta\)BHA ( cạnh huyền - góc nhọn )

c) Xét 2 \(\Delta\) vuông AIB và AIE có :

^A1 = ^A2 (gt)

AI : cạnh chung

=> \(\Delta\)AIB = \(\Delta\)AIE ( cạnh góc vuông- góc nhọn )

=> AB = AE ( 2 cạnh tương ứng )

=> \(\Delta\)ABE cân

Mà ^BAE = 60 ^o

=> \(\Delta\)BAE đều .

d) Xét \(\Delta\) ADB và \(\Delta\)ADE có :

AB = AE (cmt)

AD : cạnh chung

^A1 = ^A2 ( gt)

=> \(\Delta\) ADB = \(\Delta\)ADE ( c - g - c )

=> BD = ED ( 2 cạnh t/ứng) ; ^ABD = ^AED ( 2 góc t/ứng)

Mà ^ AED + ^DEC = 180^o ( kề bù )

^ABD + ^ B1 = 180^o ( kề bù )

=> ^B1 = ^ DEC

Mà ^B1 > ^ C ( vì ^B1 là góc ngoài tại B của tam giác ABC)

=> ^DEC > ^C

=> DC > DE ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện )

Mà DE = BD => BD < DC.