Chứng minh các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các cạnh trung tuyến của tam giác ABC

\(\text{a) Ta có: }AG=\dfrac{2}{3}AM\left(G\text{ là trực tâm của }\Delta ABC\right)\\ \text{Mà }AG=GD\left(G\text{ là trung điểm }AD\right)\\ \Rightarrow GD=\dfrac{2}{3}AM\left(1\right)\\ \text{Mà }GM=\dfrac{1}{3}AM\left(G\text{ là trực tâm của }\Delta ABC\right)\\ \Rightarrow MD=MG=GD-GM=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{1}{3}AM\\ \text{Xét }\Delta BMD\text{ và }\Delta GMC\text{ có: }\left\{{}\begin{matrix}AM=BM\left(\text{Chứng minh trên}\right)\\\widehat{BMD}=\widehat{GMC}\left(\text{ 2 góc đối đỉnh }\right)\\MD=MG\left(\text{Chứng minh trên}\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta BMD=\Delta GMC\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow BD=GC\left(\text{ 2 góc tương ứng }\right)\\ \text{Mà }GC=\dfrac{2}{3}CQ\left(G\text{ là trực tâm của }\Delta ABC\right)\\ \Rightarrow BD=\dfrac{2}{3}CQ\left(2\right)\\ \text{Lại có : }BG=\dfrac{2}{3}BN\left(G\text{ là trực tâm của }\Delta ABC\right)\left(3\right)\\ \text{Từ }\left(1\right);\left(2\right)\text{ và }\left(3\right)\Rightarrow\Delta BGD\text{ có các cạnh }GD;BD;BG=\dfrac{2}{3}\text{ các đường trung tuyến }AM;CQ;BN\text{ của }\Delta ABC\)