Chứng minh BN=CM biết tam giác ABC cân tại A và BM=CN

a) Xét \(\Delta BNC\) và \(\Delta CMB\) có:

CN = BM (gt)

\(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

BC chng

\(\Rightarrow\Delta BNC=\Delta CMB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BN=CM\)

b) Ta có: \(AB-BM=AC-CN\)

\(\Rightarrow AM=AN\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{BAC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(1\right)\)

Áp dụng t/c tổng .....:

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC

c) Lại có: \(180^o-\widehat{AMN}=180^o-\widehat{ANM}\)

\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\)

Xét \(\Delta BMN\) và \(\Delta CNM\) có:

BM = CN (gt)

\(\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\) (c/m trên)

MN chung

\(\Rightarrow\Delta BMN=\Delta CNM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BNM}=\widehat{CMN}\)

hay \(\widehat{INM}=\widehat{IMN}\)

\(\Rightarrow\Delta IMN\) cân tại I \(\Rightarrow IM=IN\)