Chứng minh BI là tia phân giác góc ABC biết I là giao điểm của AD và CE

a) Xét \(\Delta BEC,\Delta BDA\) có :

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDA}\left(=90^o\right)\)

\(BA=BC\) (ΔABC cân tại B)

\(\widehat{B}:Chung\)

=> \(\Delta BEC=\Delta BDA\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(BD=BE\) (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta BIA,\Delta BIC\) có :

\(BA=BC\text{(ΔABC cân tại B)}\)

\(\widehat{BAI}=\widehat{BCI}\) (từ \(\Delta BEC=\Delta BDA\))

\(BI:Chung\)

=> \(\Delta BIA=\Delta BIC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{ABI}=\widehat{CBI}\) (2 góc tương ứng)

Do đó : BI là tia phân giác của ΔABC

c) Xét \(\Delta BED\) cân tại B (BE = BD) có :

\(\widehat{BED}=\widehat{BEC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại B(gt) có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{BED}=\widehat{BAC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó: \(ED//AD\left(đpcm\right)\)

d) Xét \(\Delta ABK,\Delta CBK\) có :

\(BA=BC\)(ΔABC cân tại B)

\(\widehat{BAK}=\widehat{BCK}\left(=90^o\right)\)

\(BK:Chung\)

=> \(\Delta ABK=\Delta CBK\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{ABK}=\widehat{CBK}\) (2 góc tương ứng)

=> BK là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (3)

Ta thấy : BI là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (chứng minh câu b) (4)

Từ (3) và (4) suy ra : B, I, K thẳng hàng

=> đpcm