Chứng minh BH vuông góc CE biết tam giác ABC vuông tại A, tia BI cắt CE tại H

a) Xét \(\Delta ABI,\Delta DBI\) có :

\(BA=BD\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABI}=\widehat{DBI}\)(BI là tia phân giác của góc B)

\(BI:Chung\)

=> \(\Delta ABI=\Delta DBI\left(c.g.c\right)\)

b) Từ \(\Delta ABI=\Delta DBI\left(cmt\right)\)

Suy ra : \(\widehat{IDB}=\widehat{IAB}=90^{^O}\)(2 góc tương ứng)

c) Xét \(\Delta IAE,\Delta IDC\) có :

\(\widehat{EAI}=\widehat{CDI}\left(=90^{^O}\right)\)

\(AI=DI\) [do \(\Delta ABI=\Delta DBI\left(cmt\right)\) ]

\(\widehat{AIE}=\widehat{DIC}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta IAE=\Delta IDC\) (g.c.g)

d) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}BA=BD\left(gt\right)\\AE=DC\left(\Delta IAE=\Delta IDC-câuc\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}BE=BA+AE\left(E\in AB\right)\\BC=BD=DC\left(D\in BC\right)\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(BE=BC\)

Xét tam giác EBC có :

BE = BC (cmt)

=> \(\Delta EBC\) cân tại B

Mà thấy : BH là tia phân giác của \(\widehat{EBC}\) (gt)

=> BH đồng thời là trung trực trong\(\Delta EBC\)

Do đó : \(BH\perp CE\left(đpcm\right)\)