Chứng minh BH = CK biết từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE

a, ΔADE cân:

Ta có: \(\widehat{B_1}+\widehat{B_{23}}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{C_1}+\widehat{C_{23}}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (ΔABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{B_{23}}=\widehat{C_{23}}\)

Xét ΔABD và ΔACE có:

+ BD = CE (gt)

+ \(\widehat{B_{23}}=\widehat{C_{23}}\) (cmt)

+ AB = AC (ΔABC cân tại A)

\(\Rightarrow\) ΔABD = ΔACE (c-g-c)

\(\Rightarrow\) AD = AE (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\) ΔADE cân tại A.

b, AM là tia phân giác của góc DAE:

Ta có: M là trung điểm của BC

\(\Rightarrow\) BM = CM

Xét ΔABM và ΔACM có:

+ AB = AC (ΔABC cân tại A)

+ \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (ΔABC cân tại A)

+ BM = CM (cmt)

\(\Rightarrow\) ΔABM = ΔACM (c-g-c)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) AM là phân giác của \(\widehat{DAE}\).

c, BH = CK:

Ta có: ΔABM = ΔACM (câu b)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) (2 góc tương ứng)

Xét ΔAHB và ΔAKC có:

+ \(\widehat{K_2}=\widehat{H_2}\) (BH vuông góc với AD; CK vuông góc với AE)

+ AB = AC (ΔABC cân tại A)

+ \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) ΔAHB = ΔAKC (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\) BH = CK (2 cạnh tương ứng)