Chứng minh BE=ED=DC biết tam giác ABC cân tại A có các tia phân giác BD và CE

a, Vì tam giác ABC cân tại A nên ;

\(\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^0-80^0}{2}=50^0\)

b, Vì \(\widehat{B}=\widehat{C}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\\ \Leftrightarrow\widehat{EBD}=\widehat{DBC}=\widehat{DCE}=\widehat{ECB}\)

\(Xét\Delta BDCvà\Delta CEBcó:\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\left(cmt\right)\\BClàcạnhchung\\\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta BDC=\Delta CEB\left(g-c-g\right)\\ \Rightarrow DC=BE\left(2cạnht/ứng\right)\left(1\right)\)

Mà \(AB=AC\Leftrightarrow AE+EB=AD+DC.MàDC=EB\\ \Rightarrow AE=AD\\ \Rightarrow TamgiácAEDcântạiA\\ \Rightarrow\widehat{E}=\widehat{D}=\dfrac{180^0-80^0}{2}=50^0\\ Mà\widehat{B}=50^0\Rightarrow ED//BC\\ \Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{DBC}.Mà\widehat{DBC}=\widehat{EBD}\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{EBD}\\ \Rightarrow TamgiácEDBcântạiE\\ \Rightarrow ED=EB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\RightarrowĐpcm\)

c, Theo tính chất 3 đường phân giác, ta có :

OA chính là tia phân giác của góc A

\(\Rightarrow\widehat{EAO}=\widehat{DAO}\)

\(Xét\Delta EAOvà\Delta DÁOcó:\\ \left\{{}\begin{matrix}AE=AD\left(cmt\right)\\\widehat{EAO}=\widehat{DAO}\left(cmt\right)\\AOlàcạnhchung\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta EAO=\Delta DAO\left(c-g-c\right)\\ \RightarrowĐpcm\)