Chứng minh BD+CE=DE biết tam giác ABC vuông tại A, BD vuông góc với d

Ta có BAD+ BAC+CAE= 180

mà BAC=90 => BAD+ CAE=90 (1)

Do \(\Delta\)AEC vuông tại E nên CAE+ ACE=90 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BAD=ACE

Xét \(\Delta\)DBA vuông tại D và \(\Delta\)EAC vuông tại E có:

AB= AC ( do \(\Delta\)ABC cân tại A)

BAD=ACE ( c/m trên )

=>\(\Delta\)DBA = \(\Delta\) EAC ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> DA= EC ( 2 cạnh tương ứng)

và BD=AE ( tương ứng)(*)

Ta co: DE = DA + AE (***)

Do DA= EC ( c/m trên ) (**)

Thay (*) ,(**) vào (***) ta đc : DE= BD+CE

b)

Nối A với M. Do tam giác ABC vuông cân tại A nên ABM=45

Xét tam giác AMB và tam giác AMC có

AB = AC( suy từ g/t)

AM chung

MB=MC ( do m là trung điểm của BC)

=> tam giác AMB = tam giác AMC ( ccc)

=> BAM= CAM (tương ứng) (3)

và AMB= AMC (4)

Lại có BAM+ CAM=90 (5)

Từ (3) và (5) suy ra BAM=45

Do đó BAM=ABM = 45 nên ABM cân tại M=> MB=MA

Do AMB + AMC =180 ( kề bù)

Từ (5) và (7) suy ra AMB=90

Mặt khác MAC =MBA=45

CAE = ABD ( tam giác DBA = tam giác AEC)

=> MAE = MBD

Xét tam giác AME và tam giác BMD có

AM=BM ( do m là TĐ của BC)

MAE = MBD ( c/m trên )

Ae = BD ( c/ m trên )

=> tam giác AME = tam giác BMD ( cgc)

=> ME = MD ( tương ứng) nên tam giác MDE vuông tại M(*)

Vì tam giác AME = tam giác BMD nên AME=BMD (9)

Do đó: DME= DMA+ AME (8)

Thay ( 8) vào (9) ta đc: DME = DMA+ BMD = AMB=90

Suy ra DME vuông tai M (**)

Từ (*) và (**) suy ra DME vuông tại M