Chứng minh BD//AC biết tam giác ABC vuông cân tại A có AD=2AM

AD=2.AM nên AM+MD=AD nên AM=MD

a) Xét \(\Delta\)AMB và MDC có

MB=MC(M là trung điểm BC)

\(\widehat{M}1=\widehat{M}2\)(đối đỉnh)

MA=MD

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)AMB=\(\Delta\)MDC(c.g.c)

nên AB=CD và \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\Rightarrow AB//CD\)

b) Xét \(\Delta\)BMD và \(\Delta\)CMA có

MA=MD

\(\widehat{M}3=\widehat{M}4\)(đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm BC)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BMD=\(\Delta\)CMA(c.g.c)

nên \(\widehat{B}1=\widehat{C1}\)

MÀ 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow BD//AC\)

c) \(\Delta\)ABC vuông cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^0\)

MÀ \(\widehat{B}1=\widehat{C1}\)và \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\)nên

\(\widehat{C1}+\widehat{C2}=\widehat{ACD}=\widehat{BAC}=90^0\)

Xét \(\Delta\)ACB và \(\Delta\)ACD có

Ac chung

\(\widehat{ACD}=\widehat{BAC}\)(cmt)

AB=CD

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ACB=\(\Delta\)ACD(c.g.c)

nên BC=AD

Mà AM=\(\dfrac{1}{2}\)AD

nên AM=\(\dfrac{1}{2}\)BC

d) MB=MC=AM=\(\dfrac{1}{2}\)BC

mà AM=MD

nên MD=MC

\(\Rightarrow\Delta MCD\) cân tại M (1)

TRong \(\Delta\)ABC có AM là đường trung tuyến nên Am là phân giác \(\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{A1}=\widehat{A2}=45^0\);\(\widehat{B2}=\widehat{C2}\)

nên \(\widehat{D1}+\widehat{C2}=90^0\Rightarrow\widehat{M2}=90^0\)(2)

(1)(2) \(\Rightarrow\Delta MCD\)vuông cân tại M

Mà \(\widehat{A}1\)=\(\widehat{D1}\);