Chứng minh AM vuông góc với BC biết tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC

a) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có :

\(AB=AC\) (Tam giác ABC cân tại A)

\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)

\(AM:Chung\)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\) (*)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 góc tương ứng)

Có : \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^{^O}\left(kềbù\right)\)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^{^O}\)

Do đó: \(AM\perp BC\)

=> đpcm

b) Xét \(\Delta EBM,\Delta FCM\) có :

\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\) (ΔABC cân tại A)

\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BEM}=\widehat{CFM}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta EBM=\Delta FCM\) (cạnh huyền -góc nhọn)

=> ME = MF(2 cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta AEM,\Delta AFM\) có :

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}\left(=90^o\right)\)

\(AM:chung\)

\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\) (từ *)

=> \(\Delta AEM=\Delta AFM\) (cạnh huyền -góc nhọn)

=> \(AE=AF\) (2 cạnh tương ứng)

=> ΔAEF cân tại A

Xét ΔAEF cân tại A có :

\(\widehat{AEF}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔABC cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy: 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó : \(EF//BC\)

=> đpcm.