Chứng minh AM vuông góc EF biết đường thẳng MN cắt tia AH tại D

Lời giải:

Bạn tự vẽ hình nhé!

a) Xét tứ giác $HFAE$ có \(\widehat{HFA}=\widehat{FAE}=\widehat{AEH}=90^0\) nên $HFAE$ là hình chữ nhật.

Do đó:

\(\widehat{AFE}=90^0-\widehat{EFH}=90^0-\widehat{HAE}=90^0-(90^0-\widehat{BAH})\)

\(=\widehat{BAH}=90^0-\widehat{B}(1)\)

Tam giác $ABC$ vuông có $M$ là trung điểm cạnh huyền nên \(AM=\frac{BC}{2}=BM\)

\(\Rightarrow \triangle AMB\) cân tại $M$

\(\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{MBA}=\widehat{MAB}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{AFE}=90^0-\widehat{MAB}\)

\(\Leftrightarrow \widehat{AFE}+\widehat{MAB}=90^0\)

\(\Rightarrow EF\perp AM\)

b) Sửa lại đề: \(EF\parallel BD\)

Tam giác $BAC$ có $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Do đó \(MN\parallel AC\). Mà \(AB\perp AC\Rightarrow MN\perp AB\)

Ta thấy tam giác $BAM$ có \(AH\perp BM, MN\perp BA\) và \(AH\cap MN=D\) nên $D$ là trực tâm tam giác $BAM$

Do đó: \(BD\perp AM\). Mà \(EF\perp AM\Rightarrow BD\parallel EF\)