Chứng minh AM là trung trực của EF biết tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AM

Bài giải :

a) Ta có : ME vuông góc vs AB (gt) => Tam giác BEM vuông tại E

MF vuông góc vs AC (gt) => Tam giác CFM vuông tại F

Xét tam giác BEM và CFM vuông có :

ch: MB = MC (AM là trung tuyến )

gn: góc ABM = ACM (tam giác ABC cân)

=> tam giác BEM = CFM (ch-gn)

b) Ta có : AE + EB = AB ( t/c cộng đoạn )

AF + FC =AC ( t/c cộng đoạn )

mà : AB = AC (tam giác ABC cân)

EB = FC ( tam giác BEM = CFM )

=> AE = EF

Xét tam giác ABM và ACM có :

AB = AC (tam giác ABC cân)

MB = MC (AM là trung tuyến )

AM là cạnh chung

=> tam giác ABM = ACM (c.c.c)

=> góc BAM = CAM ( 2 góc tương ứng )

mà AM nằm giữa AB và AC

=> AM là phân giác của góc BAC

Xét tam giác AEO và AFO có :

AE = AF (cmt)

góc BAM = CAM (cmt )

AO là cạnh chung

=> tam giác AEO = AFO (c.g.c)

=> OE = OF ( 2 cạnh tương ứng ) => O là trung điểm của EF

=> góc AOE = AOF ( 2 góc tương ứng )

mà góc AOE + AOF = 180 độ ( kề bù )

=> góc AOE = AOF = 180 : 2 = 90 độ

=> AO vuông góc EF

mà O là trung điểm của EF

=>AO là đường trung trực EF

=>AM là đường trung trực EF

c) Xét tam giác ABD và ACD có :

AB = AC (tam giác ABC cân)

góc BAM = CAM (cmt )

AD là cạnh chung

=> tam giác ABD = ACD (c.g.c)

=> góc BAD = CAD ( 2 góc tương ứng )

mà AD nằm giữa AB và AC

=> AD là phân giác của góc BAC

mà AM là phân giác của góc BAC

=> AD trùng với AM

=> A, M, D thẳng hàng