Chứng minh AM=1/2 BC biết tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm BC

Có nhiều cách chứng minh, trong bài này mình sẽ dùng một cách.

Giải:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD.

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta CMD\), có:

\(MB=MC\) (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\) (Hai góc đối đỉnh)

\(MA=MD\) (M là trung điểm của AD)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta CMD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\) (Hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) AB song song với DC (Vì có hai góc so le trong bằng nhau)

Mà: \(\widehat{BAC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DCA}+\widehat{BAC}=180^0\) (Hai góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{DCA}=180^0-\widehat{BAC}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\left(=90^0\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\), có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=90^0\) (Chứng minh trên)

\(AB=CD\) (\(\Delta AMB=\Delta CMD\))

AC là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CDA\) (Hai cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow BC=DA\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}DA\)

Hay \(AM=\dfrac{1}{2}BC\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!