Chứng minh AH là đường trung trực của DE biết tam giác ABC cân tại A, AH vuông góc BC

1) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACH\) có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^{^O}\right)\)

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (ΔABC cân tại A)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền -góc nhọn) (*)

2) Xét \(\Delta DBH,\Delta ECH\) có :

\(BD=EC\left(gt\right)\)

\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\) (ΔABC cân tại A)

\(BH=HC\) [từ (*)]

=> \(\Delta DBH=\Delta ECH\left(c.g.c\right)\)

=> \(HD=HE\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta HDE\) có :

\(HD=HE\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta HDE\) cân tại H (đpcm)

3) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\\E\in AC\end{matrix}\right.\left(gt\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\BD=CE\end{matrix}\right.\left(gt\right)\)

Suy ra : \(AE=AE\)

Xét \(\Delta ADH,\Delta AEH\) có:

\(AD=AE\left(cmt\right)\)

\(AH:Chung\)

\(HD=DE\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta ADH=\Delta AEH\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\) (2 góc tương ứng)

=> AH là tia phân giác của \(\Delta HDE\)

Mà : \(\Delta HDE\) cân tại H

=> AH đồng thời là trung trực trong \(\Delta HDE\)

Suy ra : AH là trung trực của DE (đpcm)