Chứng minh AH=AK biết tam giác DEF cân tại D có ME = NF

a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DEM}+\widehat{DEF}=180^{^O}\\\widehat{DFE}+\widehat{DFN}=180^{^O}\end{matrix}\right.\)(Kề bù)

Mà có : \(\widehat{DEF}=\widehat{DFE}\) (tam giác DEF cân tại D)

Suy ra : \(\widehat{DEM}=\widehat{DFN}\)

Xét \(\Delta DEM;\Delta DFN\) có :

\(DE=DF\) (tam giác DEF cân tại D)

\(\widehat{DEM}=\widehat{DFN}\left(cmt\right)\)

\(ME=NF\left(gt\right)\)

=> \(\Delta DEM=\Delta DFN\left(c.g.c\right)\)

=> DM = DN (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta DMN\) có :

DM = DN (cmt)

=> \(\Delta DMN\) cân tại D (đpcm)

b) Xét \(\Delta MHE;\Delta NKF\) có :

\(\widehat{MHE}=\widehat{NKF}\left(=90^o\right)\)

ME = NF (gt)

\(\widehat{HME}=\widehat{KNF}\) (tam giác DMN cân tại D- cmt)

=> \(\Delta MHE=\Delta NKF\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> EH = EK (2 cạnh tương ứng)

c) Đề bài không rõ ràng cho lắm, bạn lưu ý nhé !

d) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}DM=DN\left(cmt\right)\\HM=KN\left(\Delta MHE=\Delta NKF\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}DM=DH+HM\\DN=DK+KN\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(DH=DK\)

Xét \(\Delta DHK\) có :

DH = DK (cmt)

=> \(\Delta DHK\) cân tại D

Có : \(\widehat{DHK}=\widehat{DKH}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{D}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta DMN\) cân tại D (cmt) có :

\(\widehat{DMN}=\widehat{DNM}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{D}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{DHK}=\widehat{DMN}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{D}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó : HK // MN (đpcm)