Chứng minh AH^2+BM^2=AN^2+BH^2 biết tam giác ABC cân tại A, AH vuông góc BC

1/ a) xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^o\)

AH chung

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

=> \(\Delta ABH=\Delta AHC\left(CH-GN\right)\)

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (2 góc tương ứng)

b) xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta AHM\) có:

\(\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\)

AH chung

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta AHN=\Delta AHM\left(CH-CN\right)\)

=> HN = HM (2 cạnh tương ứng)

=> AN = AM (2 cạnh tương ứng)

\(\Delta AMN\) có: AN = AM (cmt)

=> \(\Delta AMN\) cân tại A

c) đặt điểm giao nhau giữa AH và MN là K

xét \(\Delta AKM\) và \(\Delta AKN\) có:

AK chung

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

AM = AN (\(\Delta AMN\) cân tại A)

=> \(\Delta AKM=\Delta AKN\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\)

mà 2 góc trên ở vị trí kề bù

=> \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}=90^o\)

=> MN \(\perp AH\)

mà \(BC\perp AH\)

=> MN // BC (tính chất)

d) áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta AHN\left(\widehat{N}=90^o\right)\) có:

AH² = AN² + NH²

=> AH² + BM² = AN² + NH² + BM² (1)

áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta BHM\left(\widehat{M}=90^o\right)\) có:

BH² = BM² + MH²

mà MH = NH

=> BH² = BM² + NH²

=> AN² + BH² = AN² + BM² + NH² (2)

từ 1 và 2 => AH² + BM² = AN² + BH² (đpcm)