Chứng minh AE//BC biết M, N là trung điểm AC, AB và MD=MB, NE=NC

a) Xét \(\Delta ADM,\Delta CBM\) có :

\(AM=CM\) (M là trung điểm của AC)

\(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\) (đối đỉnh)

\(MB=MD\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ADM=\Delta CBM\left(c.g.c\right)\)

b) Từ \(\Delta ADM=\Delta CBM\left(cmt\right)\) suy ra :

\(\widehat{ADM}=\widehat{CBM}\) (2 góc tương ứng)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí so le trong

=> \(AD//BC\rightarrowđpcm\) (1)

c) Xét \(\Delta AEM,\Delta CBM\) có :

\(NE=NC\left(gt\right)\)

\(\widehat{ANE}=\widehat{BNC}\) (đối đỉnh)

\(AN=BN\) (N là trung điểm của AB)

=> \(\Delta AEM=\Delta CBM\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{AEN}=\widehat{BCN}\) (2 góc tương ứng)

=> AE // BC (2)

Từ (1) và (2) => E, A, D thẳng hàng

Có thêm : \(\left\{{}\begin{matrix}AD=BC\left(\Delta ADM=BCM\right)\\AE=BC\left(\Delta AEN=\Delta BCN\right)\end{matrix}\right.\)

Suy ra : AD = AE (=BC)

Do đó, A là trung điểm của DE.

d) Để \(\Delta DIE\) cân tại I :

\(\Leftrightarrow\widehat{IED}=\widehat{IDE}\)

\(\Leftrightarrow\Delta AEN=\Delta ADM\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}EN=MD\\AN=AM\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AN=AM=BN=CM\\EN=MD=NC=BM\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow AB=AC\)

\(\Leftrightarrow\) \(\Delta ABC\) cân tại A