Chứng minh AE=(AB+AC):2 biết tam giác ABC có AC < AB, M là trung điểm BC, phân giác AD

Tự vẽ hình

a) Xét \(\Delta\) AFH vuông tại H và \(\Delta\) AED vuông tại H có :

\(\widehat{FAH}=\widehat{EAH}\) (AD là tia phân giác \(\widehat{FAE}\) )

chung AH

=> \(\Delta\) AFH = \(\Delta\) AED (cgv - gn)

=> AF = AE (cặp cạnh tương ứng)

=> \(\Delta\) AFE cân

b) Vì \(\Delta\) AFE cân

=> \(\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\)

Vì EF // BK

=> \(\widehat{AFE}=\widehat{K}\) (đồng vị)

và \(\widehat{AEF}=\widehat{ABK}\) (đồng vị)

Mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\)

=> \(\widehat{K}=\widehat{ABK}\)

=> \(\Delta\) ABK cân tại A

=> AK = AB

Ta có :

AK = AF + KF

AB = AE + EB

Mà AK = AB và AF = AE

=> FK = EB

c) Từ M kẻ MI // AK

Nối FI

Vì FM // KI

=> \(\widehat{MFI}=\widehat{FIK}\) (so le trong)

Vì FD // MI

=> \(\widehat{KFI}=\widehat{FIM}\) (so le trong)

Xét \(\Delta\) FKI và \(\Delta\) IFM có :

\(\widehat{KFI}=\widehat{FIM}\) (chứng minh trên)

chung FI

\(\widehat{KIF}=\widehat{MFI}\) (so le trong)

=> \(\Delta\) FKI = \(\Delta\) IFM (g-c-g)

=> FK = MI (cặp cạnh tương ứng)

Vì FE // BK

=> \(\widehat{IBM}=\widehat{BME}\) (so le trong)

mà \(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\) (đối đỉnh)

=> \(\widehat{CMF}=\widehat{IBM}\)

Vì MI // CF

=> \(\widehat{MCF}=\widehat{IMB}\) (đồng vị)

Xét \(\Delta\) FCM và \(\Delta\) IMB có :

\(\widehat{MCF}=\widehat{IMB}\) (chứng minh trên)

CM = MB (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{CMF}=\widehat{IBM}\) (chứng minh trên)

=> \(\Delta\) FCM = \(\Delta\) IMB (g-c-g)

=> CF = MI (cặp cạnh tương ứng)

mà MI = FK (chứng minh trên)

=> CF = FK

Mà FK = EB (theo câu b)

=> CF = EB

Theo câu a :

FA = EA

=> \(\dfrac{AE+FA}{2}\) = AE

=> AE = \(\dfrac{AE+AC+FC}{2}\)

Mà CF = EB

=> \(\dfrac{AE+EB+AC}{2}\)

=> AE = \(\dfrac{AB+AC}{2}\)

=> đpcm