Chứng minh AD là trung trực của EF biết tạm giác ABC cân tại A có đường cao AD

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A => \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

mà AD là đường cao

=> AD là đường trung tuyến \(\Delta ABC\)

=> BD = DC

Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta CFD\) có:

\(\widehat{BED}=\widehat{CFD}\left(90^0\right)\)

BD = DC (cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)

Do đó: \(\Delta BED=\Delta CFD\left(ch-gn\right)\)

=> BE = CF (hai cạnh tương ứng)

b) Vì \(\Delta BED=\Delta CFD\left(cmt\right)\)

=> ED = DF (hai cạnh tương ứng)

=> \(\Delta EDF\) cân tại D

=> D \(\in\) đường trung trực cạnh EF (1)

Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta AFD\) có:

AD (chung)

\(\widehat{AED}=\widehat{AFD}\left(=90^0\right)\)

ED = DF (cmt)

Do đó: \(\Delta AED=\Delta AFD\) (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

=> AE = AF(hai cạnh tương ứng)

=> \(\Delta AEF\) cân tại A
=> A \(\in\) đường trung trực cạnh EF (2)

(1); (2) => AD là đường trung trực cạnh EF

c) ta có: AD \(\perp\) BC và \(AD\perp EF\)

=> BC // EF

Gọi giao điểm của FM và DC là H ta có:

Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta CMD\) có:

ED = DM (gt)

\(\widehat{EDB}=\widehat{CDM}\) (đối đỉnh)

BD = DC (cmt)

Do đó: \(\Delta BED=\Delta CMD\) (c-g-c)

mà \(\Delta BED=\Delta CFD\)

=> \(\Delta CMD=\Delta CFD\)

=> CF = CM (hai cạnh tương ứng)

=> \(\Delta FCM\) cân tại C

=> C \(\in\)đường trung trực cạnh FM (1)

DE = DF (cmt)

mà DE = DM

=> DF = DM

=> \(\Delta FDM\) cân tại D

=> D \(\in\) đường trung trực cạnh FM (2)

(1); (2) => DC là đường trung trực cạnh FM

=> DH \(\perp\) FM

mà BC // EF

=> EF \(\perp\) FH

=> \(\widehat{EFM}=90^0\) hay \(\Delta EFM\) vuông tại F

d) Vì \(\Delta BED=\Delta CMD\)

=> \(\widehat{BED}=\widehat{CMD}=90^0\)(hai góc tương ứng)

=> BE//CM(so le trong)