Chứng minh AD = EF biết đường thẳng kẻ qua D và song song với BC cắt AC ở E

Bạn tự vẽ hình nha!!!

a) Vì AD // FE nên \(\widehat{ADE}=\widehat{FED}\) (2 góc so le trong) và \(\widehat{AED}=\widehat{FDE}\) (2 góc so le trong)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta FED\) có:

\(\widehat{ADE}=\widehat{FED}\) (c/m trên)

DE là cạnh chung

\(\widehat{AED}=\widehat{FDE}\) (c/m trên)

=> \(\Delta ADE=\Delta FED\) (g.c.g)

=> AD=EF (2 cạnh tương ứng)

b) Vì FD // EC nên \(\widehat{DFE}=\widehat{CEF}\) (2 góc so le trong)

Mặt khác DE // CF nên \(\widehat{DEF}=\widehat{CFE}\) (2 góc so le trong)

Xét \(\Delta FED\) và \(\Delta EFC\) có:

\(\widehat{DEF}=\widehat{CFE}\) (c/m trên)

EF là cạnh chung

\(\widehat{DFE}=\widehat{CEF}\) (c/m trên)

=> \(\Delta FED=\Delta EFC\left(g.c.g\right)\)

=> \(\Delta ADE=\Delta EFC\left(\Delta ADE=\Delta FED\right)\)

=> AE=EC (2 cạnh tương ứng)

Vì AD=EF(c/m trên). Mà AD=BD (D là trung điểm của AB)

=> BD=EF

Mặt khác \(\Delta FED=\Delta EFC\) (c/m trên)

=> FD=EC (2 cạnh tương ứng)

Ta có: EF // BD nên \(\widehat{BDF}=\widehat{DFE}\) (2 góc so le trong)

Mà \(\widehat{DFE}=\widehat{CEF}\) (c/m trên) => \(\widehat{BDF}=\widehat{CEF}\)

Xét \(\Delta BDF\) và \(\Delta FEC\) có:

\(\widehat{BDF}=\widehat{CEF}\) (c/m trên)

FD=EC (c/m trên)

\(\widehat{BFD}=\widehat{FCE}\) (FD // EC)

=> \(\Delta BDF=\Delta FEC\left(g.c.g\right)\)

=> BF=FC (2 cạnh tương ứng)

c) Vì \(\Delta FED=\Delta EFC\) (c/m trên) => DE=FC (2 cạnh tương ứng). Mà DF=\(\frac{1}{2}BC\) (BF=FC)

=> DE=\(\frac{1}{2}BC\)

Mặt khác EF=AD (c/m trên). Mà AD=\(\frac{1}{2}BC\) (D là trung điểm của AB)

=> EF=\(\frac{1}{2}AB\)