Chứng minh AD//CE biết tam giác ABC vuông tại A có tia BA cắt DM tại E

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DBM\) có:

AB = DB (gt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{DBM}\) (suy từ gt)

BM cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta DBM\left(c.g.c\right)\)

b) Vì \(\Delta ABM=\Delta DBM\) (câu a)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BDM}=90^o\)

nên \(MD\perp BC\rightarrowđpcm\)

c) Do \(\Delta ABM=\Delta DBM\) (câu a)

\(\Rightarrow AM=DM\) (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta AME\) vuông tại A và \(\Delta DMC\) vuông tại D có:

AM = DM (c/m trên)

\(\widehat{AME}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta AME=\Delta DMC\left(cgv-gn\right)\)

\(\Rightarrow AE=DC\) (2 cạnh t/ư)

Ta có: \(AB+AE=BE\)

\(BD+DC=BC\)

mà AE = DC (c/m trên) ; AB = BD (gt)

\(\Rightarrow BE=BC\)

\(\Rightarrow\Delta BEC\) cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BCE}\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{BEC}+\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=180^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{BEC}=180^o-\widehat{EBC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\frac{180^o-\widehat{EBC}}{2}\left(1\right)\)

Do AB = BD \(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{BAD}+\widehat{BDA}+\widehat{EBC}=180^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{BAD}=180^o-\widehat{EBC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\frac{180^o-\widehat{EBC}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BE}C=\widehat{BAD}\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AD // CE.