Chứng minh AC=BE biết tam giác ABC vuông tại A có góc ACB = 30 độ

a) Xét \(\Delta BED;\Delta ACD\) có :

\(AD=DE\left(gt\right)\)

\(\widehat{BDE}=\widehat{ADC}\) (đối đỉnh)

\(BD=DC\) (D là trung điểm của BC)

=> \(\Delta BED=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

=> \(BE=AC\) (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta ABD;\Delta ECD\) có :

\(BD=DC\left(gt\right)\)

\(\widehat{BDA}=\widehat{EDC}\) (đối đỉnh)

\(AD=DE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABD=\Delta ECD\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ECD}\) (2 góc tương ứng)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí so le trong

=> \(\text{AB // EC (đpcm)}\)

c) Có : \(\widehat{ABC}=180^o-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ACB}\right)\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)

- Trong tam giác vuông thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông = 1/2 cạnh huyền :

=> \(AD=\dfrac{1}{2}BC\)

Mà có : \(BD=\dfrac{1}{2}BC\) (D là trung điểm của BC - gt)

Nên : \(DA=DB\left(=\dfrac{1}{2}BC\right)\)

=> \(\Delta ABD\) cân tại D

Mà chứng minh trên ta có: \(\widehat{ABD}=60^o\)

=> ∆ADM là tam giác đều (tam giác cân có 1 góc = 60° thì là tam giác đều)

Từ đó ta có : \(AB=BD=AD\) (tính chất tam giác đều)

Suy ra : \(AB=\dfrac{1}{2}BC\) (đpcm)