Chứng minh AB + AC < AD + AE biết tam giác ABC cân có AB=AC và BD=CE

\(\Delta ABC\) cân tại A=>\(\) +) AB=AC mà AC=CI => AB=IC

+) \(\widehat{ABC}\) =\(\widehat{ACB}\) mà \(\widehat{ACB}\) =\(\widehat{ICE}\) ( đối đỉnh ) => \(\widehat{ABC}\) =\(\widehat{ICE}\)

a) xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ICE\)

AB=IC (cmt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ICE}\left(cmt\right)\)

BD=CE (gt)

=>\(\Delta ABD=\Delta ICE\left(c.g.c\right)\)

b)\(\Delta AEI\) có AE+EI>AI ( BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC)

mà EI= AD (\(\Delta ABD=\Delta ICE\)) và AI= AC+CI

=> AE+AD>AC+CI mà CI=AB (cmt)

=> AE+AD>AC+AB

2. Xét \(\Delta DMB\) và \(\Delta ENC\)

\(\widehat{BDM}\) = \(\widehat{CEN}\) (=90^o)

BD=CE (gt)

\(\widehat{MBD}\) =\(\widehat{NCE}\) (cmt)

=> \(\Delta DMB\) = \(\Delta ENC\) ( g.c.g)

=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng )

3. gọi MN \(\cap\) BC= \(\left\{O\right\}\)

\(\Delta MDO\) vuông tại D \(\Rightarrow MO>DO\)

\(\Delta ECO\) vuông tại E \(\Rightarrow NO>OE\)

=> OD+OE<MO+NO => OD+CE+OC< MO+NO mà CE=BD (gt)

=> OD+BD+OC<OM+ON hay BC< MN

Ta có AB=IC ( cmt)

BM=CN ( cmt)

=> AB-BM=IC-CN=> AM=IN=> AM+AC+CN=IN+AC+CN hay AM+AN=AC+IC

=> AM+AN=AB+AC mà MN> BC

=> AM+AN+MN > AB+AC+BC hay chu vi \(\Delta AMN\) > chu vi \(\Delta ABC\)