Chứng minh A, I, M thẳng hàng biết I là giao điểm của BH và CK

a) Xét \(\Delta AKC,\Delta AHB\) có :

\(\widehat{AKC}=\widehat{AHB}\left(=90^{^O}\right)\)

\(AB=AC\left(\text{ΔABC cân tại A}\right)\)

\(\widehat{A}:chung\)

=> \(\Delta AKC=\Delta AHB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AH = AK (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta KBC,\Delta HCB\) có :

\(\widehat{KBC}=\widehat{HCB}\left(\text{​Tam giác ABC cân tại A}\right)\)

\(BC:Chung\)

\(\widehat{BKC}=\widehat{CHB}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta KBC=\Delta HCB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{KCB}=\widehat{HBC}\left(\text{​2 góc tương ứng}\right)\)

Xét \(\Delta BIC\) có:

\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) (do \(\widehat{KCB}=\widehat{HBC}\)- cmt)

=> \(\Delta BIC\) cân tại I (đpcm)

d)Xét \(\Delta ABI,\Delta ACI\) có :

\(AB=AC\left(\Delta\text{​ABC cân tại A}\right)\)

\(AI:Chung\)

\(BI=CI\) (\(\Delta BIC\) cân tại I)

=> \(\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (2 góc tương ứng)

Do đó : AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

e) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có:

\(AB=AC\)(ΔABC cân tại A)

\(AM:Chung\)

\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

=> AM là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

Lại có : AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (chứng minh câu d)

Do đó : A, I, M thẳng hàng (đpcm)