Chứng minh 3 điểm B, E, M thẳng hàng biết M là trung điểm của KC

a) Xét \(\Delta ABE,\Delta HBE\) có :

\(AB=BH\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) )

\(BE:chung\)

=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^{^o}\)(2 góc tương ứng)

Do đó : \(EH\perp BC\left(đpcm\right)\)

b) Xét \(\Delta ABH\) có :

\(AB=BH\) (gt)

=> \(\Delta ABH\) cân tại B

Lại có : BE là tia phân giác của góc B

=> BE đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta ABH\)

Suy ra : \(\left\{{}\begin{matrix}AE=EH\\BE\perp AH\end{matrix}\right.\) (Tính chất đường trung trực)

Do đó :\(BE\) là đường trung trực của AH

=> đpcm

c) Ta chứng minh : \(\Delta BEK=\Delta BEH\) (*)

Suy ra : \(EK=EC\) (2 cạnh tương ứng)

d) Xét \(\Delta ABH\) cân tại A có :

\(\widehat{BAH}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta BKC\) có :

BK = BC (suy ra từ *)

=> \(\Delta BKC\) cân tại B

Ta có : \(\widehat{BKC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{BAH}=\widehat{BKC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó : \(AH//KC\left(đpcm\right)\)

e) Xét \(\Delta EKC\) có :

\(KM=MC\) (M là trung điểm của KC)

=> EM là trung tuyến trong \(\Delta EKC\)

=> E,M thẳng hàng (3)

Xét \(\Delta ABH\) có :

BE là trung trực trong tam giác ABH (cmt)

=> B,E thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) => B, E,M thẳng hàng

=> đpcm