Chứng minh 3 điểm A, M, I thẳng hàng biết tam giác ABC cân tại A và BD=CE

a, Xét tam giác BEC và tam giác CDB có :

\(\left\{{}\begin{matrix}CE=BD\left(gt\right)\\\widehat{BCE}=\widehat{CBD}\left(kềbùvớihaigócbằngnhau\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\right)\\BClàcạnhchung\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta BCE=\Delta CBD\left(c-g-c\right)\\ \Rightarrow\widehat{CBE}=\widehat{BCD}\left(haigóctươngứng\right)\)

và \(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{CED}\left(haigóctươngứng\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta BICcântạiI\\\Delta DIEcântạiI\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IB=IC\\ID=IE\end{matrix}\right.\)

b, Xét 2 tam giác cân BIC và DIE có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CBI}+\widehat{BCI}+\widehat{BIC}=180^0\\\widehat{DEI}+\widehat{IDE}+\widehat{DIE}=180^0\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(\widehat{BIC}=\widehat{DIE}\)( hai góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{CBI}+\widehat{BCI}=\widehat{DEI}+\widehat{IDE}\)

Mà : \(\widehat{CBI}=\widehat{BCI};\widehat{DEI}=\widehat{IDE}\)

\(\Rightarrow\widehat{CBI}=\widehat{BCI}=\widehat{DEI}=\widehat{IDE}\)

\(\Rightarrow BC//DE\)( vì góc BCD và góc CDE nằm ở vị trí so le trong )

c, Xét tam giác ABM và tam giác ACM có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\AMlàcạnhchung\\BM=MC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\\ \Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(haigóctươngứng\right)\)

\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác của góc BAC (1)

Xét tam giác ABI và tam giác ACI có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\AIlàcạnhchung\\BI=MI\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-c-c\right)\\ \Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\left(haigóctươngứng\right)\)

\(\Rightarrow\)AI là tia phân giác của góc BAC (2)

Từ (1) và (2) ta có :

AI trùng với AM ( vì cùng là tia phân giác góc BAC)

\(\Rightarrow\) A, M, I thẳng hàng.