Bài 62 SBT Toán 7 tập 1

Bài 62:

a) Vì \(\Delta\)ABD vuông tại A nên \(\widehat{DAB}\) = 90^o

Ta có: \(\widehat{MAD}\) + \(\widehat{DAB}\) + \(\widehat{BAH}\) = 180^o

^{=> \(\widehat{MAD}\)} + 90^o + \(\widehat{BAH}\) = 180^o

=> ^{\(\widehat{MAD}\)} + \(\widehat{BAH}\) = 90^{o (1)}

Lại có: \(\widehat{ABH}\) + \(\widehat{BAH}\) = 90^o (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\widehat{MAD}\) + \(\widehat{BAH}\) = \(\widehat{ABH}\) + \(\widehat{BAH}\)

=> \(\widehat{MAD}\) = \(\widehat{ABH}\)

Xét \(\Delta\)DMA vuông tại M và \(\Delta\)AHB vuông tại H có:

DA = AB (gt)

\(\widehat{MAD}\) = \(\widehat{ABH}\) (cm trên)

=> \(\Delta\)DMA = \(\Delta\)AHB (cạnh huyền - góc nhọn)

=> DM = AH (2 cạnh tương ứng)

b) Do \(\Delta\)EAC vuông tại A nên \(\widehat{EAC}\) = 90^o

Ta có:

\(\widehat{EAN}\) + \(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{CAH}\) = 180^o

=> \(\widehat{EAN}\) + 90^o + \(\widehat{CAH}\) = 180^o

=> \(\widehat{EAN}\) + \(\widehat{CAH}\) = 90^o (3)

Lại có:

\(\widehat{CAH}\) + \(\widehat{ACH}\) = 90^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(\widehat{EAN}\) + \(\widehat{CAH}\) = \(\widehat{CAH}\) + \(\widehat{ACH}\)

=> \(\widehat{EAN}\) = \(\widehat{ACH}\)

Xét \(\Delta\)ENA vuông tại N và \(\Delta\)AHC vuông tại H có:

EA = AC (gt)

\(\widehat{EAN}\) = \(\widehat{ACH}\) (cm trên)

=> \(\Delta\)ENA = \(\Delta\)AHC (cạnh huyền - góc nhọn)

=> EN = AH (2 cạnh tương ứng) (5)

Lại do \(\Delta\)DMA = \(\Delta\)AHB (cm ở câu a)

nên DM = AH (2 cạnh tương ứng) (6)

Từ (5) và (6) suy ra EN = DM

Lại có: \(\left\{\begin{matrix}EN\perp AM\\DM\perp AM\end{matrix}\right.\) => EN // DM

Ta được \(\widehat{ENM}\) = \(\widehat{DAN}\) và \(\widehat{NEM}\) = \(\widehat{ADM}\) (so le trong)

Xét \(\Delta\)ENM và \(\Delta\)DAM có:

\(\widehat{ENM}\) = \(\widehat{DAN}\) (cm trên)

EN = DA (chứng minh trên)

\(\widehat{NEM}\) = \(\widehat{ADM}\) (cm trên)

=> \(\Delta\)ENM = \(\Delta\)DAM (g.c.g)

=> EM = DM (2 cạnh tương ứng)

nên M là trung điểm của DE nên MN đi qua trung điểm của DE.