Tìm tọa độ điểm C, biết rằng điểm A có tung độ âm và thuộc đường thẳng d: x + 2y +4 = 0

Gọi I là trung điểm của AH, ta có MI // AB \(\Rightarrow MI\perp AC\)
Suy ra: I là trực tâm tam giác \(AMC\Rightarrow CI\perp AM\)
Mà \(NK\perp AM\Rightarrow NK//CI\Rightarrow\) K là trung điểm HI
Đặt \(A(-2a-4;a)\in d\), từ hệ thức \(\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KH}\Rightarrow H(\frac{2a+2}{3};\frac{2-a}{3})\)
Suy ra \(\overrightarrow{AK}=\left ( \frac{7}{2}+2a;\frac{1}{2}-a \right )\) và \(\overrightarrow{MH}=\left ( \frac{2a-4}{3};\frac{5-a}{3} \right )\)
Khi đó \(\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{MH}=0\Leftrightarrow \left ( \frac{7}{2}+2a \right )\left ( \frac{2a-4}{3} \right )+\left ( \frac{1}{2}-a \right )\left ( \frac{5-a}{3} \right )=0\)
\(\Leftrightarrow 10a^2-13a-23=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=-1\\ a=\frac{23}{10} \end{matrix}\Rightarrow A(-2;-1)\)
Suy ra tọa độ H (0;1) và B(4;-3)
Phương trình AB: x + 3y + 5 = 0 và BC: x + y - 1 = 0
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x+3y=-5\\ x+y=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=-3 \end{matrix}\right.\Rightarrow C(4;-3)\)