Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Ta có: \(d_{1}\cap d_{2}=I.\) Tọa độ của I là nghiệm của hệ:

\(\left\{\begin{matrix}x-y-3=0 \\ x+y-6=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=9/2 \\y=3/2 \end{matrix}\right.\). Vậy \(I(\frac{9}{2};\frac{3}{2})\)

Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD \(\Rightarrow M=d_{1}\cap Ox\)

Suy ra M(3; 0)

Ta có: \(AB=2IM=2\sqrt{\left ( 3-\frac{9}{2} \right )^{2}}+\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}=3\sqrt{2}\)

Theo giả thiết: \(S_{ABCD}=AB.AD=12\Leftrightarrow AD=\frac{S_{ABCD}}{AB}=\frac{12}{3\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)

Vì I và M cùng thuộc đường thẳng \(d_{1}\Rightarrow d_{1}\perp AD\)

Đường thẳng AD đi qua M (3; 0) và vuông góc với \(d_{1}\) nhận \(\overrightarrow{n}(1;1)\) làm VTPT nên có PT: \(1(x-3)+1(y-0)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\). Lại có:

\(MA=MD=\sqrt{2}\)

Tọa độ A, D là nghiệm của hệ PT: \(\left\{\begin{matrix}x+y-3=0 \\\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-x+3 \\(x-3)^{2}+y^{2}=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-x+3 \\(x-3)^{2}+(3-x)^{2}=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=3-x \\x-3=\pm 1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\y=1 \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} x=4\\y=-1 \end{matrix}\right.\). Vậy A(2; 1), D(4; -1)

Do \(I\left ( \frac{9}{2};\frac{3}{2} \right )\) là trung điểm của AC suy ra: \(\left\{\begin{matrix} x_{C}=2x_{1}-x_{A}=9-2=7\\y_{C}=2y_{1}-y_{A}=3-1=2 \end{matrix}\right.\)

Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B(5; 4)

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)