Tìm m để hệ x+xy+y=m+2 và x^2y+xy^2=m+1 có nghiệm duy nhất

Đặt \(S=x+y\); \(P=xy\) \(\left(S^2\ge4P\right)\); HPT trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}S+P=m+2\\SP=m+1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P=m+2-S\\\left(m+2-S\right)S=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S^2-S\left(m+2\right)+m+1=0\)

\(\Rightarrow\Delta=m^2\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}S=1\\S=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=1\\P=m+1\end{matrix}\right.\curlyvee\left\{{}\begin{matrix}S=m+1\\P=1\end{matrix}\right.\)

* Với \(\left\{{}\begin{matrix}S=1\\P=m+1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow S^2\ge4P\Leftrightarrow1\ge4\left(m+1\right)\)\(\Leftrightarrow m\le\dfrac{-3}{4}\)

Vậy nên x,y là nghiệm của phương trình

\(X^2-X+m+1=0\) \(\Rightarrow\Delta_1=1-4\left(m+1\right)\)

* Với \(\left\{{}\begin{matrix}S=m+1\\P=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow S^2\ge4P\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\ge4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge1\end{matrix}\right.\)

Vậy x,y là nghiệm của phương trình

\(Y^2-\left(m+1\right)Y+1=0\)\(\Rightarrow\Delta_2=\left(m+1\right)^2-4\)

Để HPT có nghiệm duy nhất

1)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=0\\\Delta_2< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{4}\) thỏa mãn đk \(S^2\ge4P\)

2) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta_2=0\\\Delta_1< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m=1\) thỏa mãn ĐK

3) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=0\\\Delta_2=0\end{matrix}\right.\)vô nghiệm

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-3}{4}\\m=1\end{matrix}\right.\) thì hệ có 1 nghiệm duy nhất